3数学课堂规范的形成和发展
在过去很长时间里，由于受“二元论”哲学认识论和行为主义心理学理论的影响，研究者关于教学过程主体地位存在着纷争，就是“教师中心”和“学生中心”的争论【4】．体现在教师中心的课堂里，就是教师是教学的主体，对整个教学过程起着主宰和控制作用，教学方式以灌输为主；学生是
知识的被动接受者，教师施与合适的刺激，学生做出相应的反应，并且这种反应是可控和可测的．
这种教学方式的课堂规范的主要特点是教师给予的可控性、强化性和学生被动的反应性．主要体现在教师课前将整体的知识还原成“刺激一反应”的许多部分，信奉部分之和就是原来的整体，教师只需对每一“刺激一反应”确立好适宜的控制和管理即可．这种规范管理只需控制好纪律、秩序，学生遵守外部施与的控制正确发出反应即可．而这种课堂规范作用下的数学观就是“数学就是一堆杂乱的公式、法则，这些公式和法则之间没什么联系，掌握好这些公式和法则就学好了数学”，来源于数学自身的规范和标准荡然无存．管理课堂活动和支配课堂师生交互和数学工作自身的规范之间不存在联系．
而以“学生中心”的数学课堂管理规范主要来自于“二元论”哲学认识论和极端建构主义认识论，以及强调个人认知特征的心理学理论．这一方面削弱了教师的地位和作用，另一方面过分强调了学生的兴趣、爱好、禀赋和主观能动性．所谓的数学规范显得无序和混乱，学生过分的自由和个性牺牲了数学学科自身具备的规范和标准，也牺牲了课堂本来具有的社会规范功能．
20世纪80年代，随着社会建构观、情境认知理论和社会文化活动理论的兴起和发展，“教学是一种或共同统一的活动”成为共识．由于教学中具有多实体、多关系，因而教学具有了复杂性．教学就是师生在某种情境下进行的某种交互活动．我国《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》规定：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往与共同发展的过程．”15]《数学课程标准(实验稿)解读》也指出，“数学教学活动就是学生学习数学化，探索、掌握和应用数学知识的活动”，是“经历数学化过程的活动”，是“学生与教材，以及教师产生交互作用建构数学知识的活动”【6】．
高中数学课程标准还指出，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发生发展过程和本质．数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为易于接受的教育形态．这实际上说的是学生学习高中数学应该遵循什么样的规则和达到何种标准，概念理解采取何种方式、逻辑推理应有什么要求、数学本质如何认识以及怎样体会和把握贯穿数学的主要数学思想方法等，
数学课堂规范除了具备社会规范功能外，还应同时兼具数学学科自身的规范和标准．而后一种规范是内隐的、动态变化的，且具有强烈的个体差异性，这主要是由于个体先前经验和知识基础不同，参与度和体验度不一致，领悟、理解学科规范和标准的层次也不一样，达到数学规范和标准的步伐、进度和路径同样不相同．这样，数学课堂规范的许多子规则不是预先设置好的，需要根据师生交互的进度、学生自主探究和交流合作的水平和进展、还有数学过程与方法目标的达成情况生成许多新课堂规则，或者需要修改原来事先设定的不适合真实课堂事件或学生行动和思维的课堂规范．因而数学课堂规范具有极强的生成性．这种因时、因地、因人和因景迥异和变化而生成的规范称之为“生成性规范”．
所以说，管理课堂活动和那些支配课堂交互和数学工作的规范之间存在必然的联系，而这些规范是由教师与学生协商创立和维持的．Wood将课堂规范定义为：“是由那些存在于教师和学生之间的期望和义务连接而成的网络系统，它直接影响学生和教师运用这些规则进行相互作用的效果，进而影响浮现在参与者之间的交流水平．”【7】这些“潜藏的规则指导参与者在课堂里的行为……成为构成课堂文化交互的合理的方式”．
也就是说数学课堂规范不仅要关注一般课堂交互有何价值上来，而且需注意师生之间是怎样参与关于数学交互的．比如，McClain和Cobb~8J发现教师最基本的一个挑战是在讨论解答时，一方面需克服给所有学生提供方向和结构，另一方面又需遵循学生自己的兴趣和解释，而它们之间总会产生分歧．当班级就有价值且不同的数学解法进行工作时，教师会综合平衡这些观点来维持有价值的、高效的、深度数学化的解法．即作为有价值的、高效的解答的课堂规范是给予学生学习算术的方法，维持合理推理的发展，特别是运算性质的代数性理解．
4数学课堂规范的特征
4．1数学课堂规范是“预成性”和“生成性”统一的结果
课堂纪律、秩序和管理制度是保证一节课成功的重要因素．而这些社会性规范是一个学校、一个班级长期受社会文化和校园文化浸润的结果，在一节课中带有强烈的约束性．这些规则往往是事先预设的，因而这些规范具有“预成性”．另外，一些“大”的数学教与学的标准、理念和规则，还有学科自身的规范和标准在一节数学课中是隐性的，是镶嵌在师生的交互过程中的，同样具有“预成性”．
但这种“预设性”规范不是教师在课堂上孤立地创生的，而是多种因素共同作用而成的．学校、街道社区和社会环境长期以来影响着课堂上所发生的一切，家庭和学生会产生影响参与者的经历和行为．这样，教师、学生和家庭能深刻影响谁学习和怎样学；谁开始谈论，谈什么；谁参与和怎样参与；能够被认可的解答和问题种类等．这些都由那些被带到课堂的参与史和参与者的经历所决定．形成的参与过程不总是清晰地完成，会受那些教师、学校和社区所隐含的目标、信念、认同所驱使．Boaler和Greeno报告说在不同教室里构成的数学学习方面的实践可能有巨大的差异，也存在不同的数学理解．这样，研究者所提倡的课堂里形成的学习机会和规范要求清楚而综合地注意到谁获得参与和怎样参与，并且应注意规范形成的方式影响哪些学生学习、他们学什么和他们怎样学数学．
另一方面，真实的数学课堂也是动态变化的，在师生交互过程中，会因数学化的进度、环境的差异、人际关系的调整和课堂进程的变化而变化．那么，师生在互动过程中协商生成的数学课堂规范也会因之而变化，没有一套理想的完全预先设置好的课堂规范来统摄整堂数学课．因此，数学课堂规范是动态“生成”的，是由教师、学生、教材和环境4个因素交互而成的．
课堂规范通过在参与过程中不断地协商而发展．数学是在数学认知群体间不断协商和约定俗成的，在数学实践过程中浮现的课堂数学活动也是通过课堂微观文化圈逐步约定俗成的，并且被认为是合理的．按照McClain等的说法，“数学活动和对话的背景是由先前数学意义的协商的结果和目前课堂的社会规范构成的”，Lampert宣称发展数学课堂规范起始于一学年的开端，但也通过规范的再协商贯穿学年始终．
创造规范不是单单伴随着教师讲授和行动而出现的．教师和学生一起进行数学工作时，那些在这些实践中的参与方法，维持这些实践发展的语言，会相互作用形成规范，然后教师再用这些规范来维持学生的学习．这样，规范的发展就需不断地再协商．按照Much和Shweder(1978)的观点，再协商出现的原因主要是教师或学生的期望没实现，或者觉察到破坏了某个社会规范或数学标准．因而，数学课堂规范与数学教学一样，具有极强的“生成性”．
4．2学生数学观念影响数学课堂规范的发展
学生是带着有限的关于做数学的观念来到教室的．在一项关于小学一年级课堂的早期研究里，Franke和Carey发现学生对何谓做数学和在课堂上成功地做数学有很清楚的表达．学生解释说对数学反应快就意味着擅长数学，或者说拥有一种策略的任何学生皆意味着精通数学，并且在课堂内的学生的这些反应皆很一致．
像这些一年级的学生一样，许多学生对于在数学课堂里何谓构成参与只产生了有限的观念，常常带着包括就教材进行工作，解决练习册上的问题，听教师解释，完成和快速完成任务等期望进入课堂的．学生代表性地不将解释他们的思维作为做数学的一部分，不将对数学想法的判断作为数学加工过程的一部分．这使创生的维持通过不断进行数学讨论来理解发展的课堂规范面临挑战，对那些已经拥有许多传统学校经历的初、高中学生更是如此．
取决于某人的理论观，创造参与机会的讨论可能集中于设置规则、创设学习的背景、或者发展一系列的课堂规范．当对于每一种情况，都必须关注于形成一种维持学生学习和发展某种做数学的倾向的环境．无论怎样，考虑到创立特定类型的数学课堂目标的中心是数学意义的结构和讨论，这样不同形式的学生观念和参与都是可接受和期望的，所以详细说明不同规范的作用和发展是关键．Cobb等(1991)强调采用一种聚焦于课堂社区文化观是必要的．即使某人的基本关注是理解学生个人的数学知识的建构，个人的数学学习也要受数学实践和通过课堂协调的规范双重的影响．
因此，学生的数学观制约着数学课堂规范的预设和生成过程，但这种合理的、不同的观念使数学课堂规范极具复杂性．应该通过设置动态的课堂规范引导学生在做数学的过程中修正或改变自己不合理的观念，使得学生的数学行为和思维规则和标准逐渐贴近“大”的数学标准、理念和规则．
4．3社会规范和数学课堂规范之间有差异
在考虑维持数学理解的课堂规范时，需考虑那些在课堂里的社会交互作用的规范，这些规范是由形成课堂常态的一系列规则组成的．这些课堂规范可以运用到任何学科领域，对数学来说不是独特的，但可以通过解释、判断和论证的刻画来维持课堂文化．课堂规范，通过教师和学生交互性的协商，为可以认同的参与，限制个人的行为等设置框架．从通常的社会规范观来看，包括参与者怎样一起参与：参与者怎样使用工具，怎样一起工作，倾听，尊重相互的观点和决定维持参与的语言．所谓“无以规矩不成方圆”的“规矩”就是课堂里的社会规范．
比如，代钦总结了日本的课堂教学对应着5个阶段的规范：复习已学过的课程，提出当天要解决的问题，学生独立或小组合作学习，讨论解决方法，赞扬或总结主要观点．很明显，这基本对应着我国的教师备课和上课所采用的策略规范，这些规范主要是“预成”的社会规范，也融合着“做”数学的规范．
另一方面，：Kazemi和Stipek发现有4种利于概念学习和理解的数学课堂规范：(1)解释靠数学推理支撑；(2)错误创造出进一步作用于数学想法的机会；(3)学生在策略间发现数学联系；(4)通过数学论据获得一致意见．他们得出结论：教师对于概念的思维设置高的要求时，有利于这4种类型规范的发展，数学不仅驱动活动的演进，也驱动学生解释的发展，进而提高学生的理解．
Yackel和Cobb主张：在数学课堂里，规范是针对数学活动而发展的，并且指导数学工作，规范不仅仅是通常管理讨论的那些规范．这些规范是与Lampertt列的从事于数学的争论或修正一个数学解释的观念紧密匹配的．Yackel和Cobb称之为社会数学规范．知道期望一个人解释某人的思维是社会规范；知道什么作为有价值的并可接受的数学解释是社会数学规范．数学规范包括那些被称为有共同标准和规范的数学差异类型、丰富的数学经验和直觉种类、高效益的数学推理和判断方式，以及合理的数学解释层次和水平等方面的规范．
社会规范虽然贯穿整个数学课堂的全过程，但它只是保证学生参与交互“做”数学的前提和条件，而不具有数学学科自身的规范和标准．数学规范本身是用来保证学生数学工作的“数学化”和“再创造”．所以，社会规范与数学课堂规范具有差异，数学课堂规范包含了社会规范，但社会规范不囊括数学规范．
4．4创生数学课堂规范就是创造一种信任和尊重的学习气氛
既然师生是在数学活动中进行交互，这种交互包括观察、质疑、讨论和交流，那么创造一种良好的教学氛围就显得格外重要了．具有社会规范和数学规范功能的数学课堂规范的预成和生成就显得很重要了．通过合理的社会规范和数学规范的设置，才能保证学生遵循学校规范、道德习俗、纪律秩序等前提下，运用已有观念、知识和经验生成符合数学规范和标准的各种数学思维和行动“产品”．
Silver等在QIJASAR方案的课堂里发现对于数学讨论群体的发展，创造信任和相互尊重的氛围是关键．特别地，他们汇报在维持学生共享其它的解释和质疑相互的想法时，避免批评和责备，集中于尊重相互的想法就显得很重要．他们指出围绕注意语言在发展规范过程中的重要性．在这里，他们谈到应维持和注意学生所使用的语言，发展共享的语言词汇，尊重共享观念时学生所使用语言的各种方法，
维系使用每个人都理解的语言来共享信息．他们发现用各种方法让学生一起参与，以便挑战相互问的思维和判断他们之间的想法等面临挑战．他们建议在集中数学发展规范之前，应该先发展社会规范．在协商和生成数学课堂规范以前，应先通过社会规范的约束营造一种良好的、值得信任和尊重的、能激发学生学习欲望和兴趣的氛围．