1.(2014·陕西高考理科·T17)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
(1)证明:四边形EFGH是矩形.
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【解题指南】(1)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.(2)利用已知正确建立空间直角坐标系,求得平面EFGH的法向量,代入公式即可得解.
【解析】(1)因为BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,
所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.
同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG,
所以四边形EFGH是平行四边形.
