2013版《6年高考4年模拟》
第二节 点、线、面的位置关系
第一部分 六年高考荟萃
2012年高考题
1.[2012•陕西卷] (1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．
解：(1)证法一：如下图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a•c＝a•(λb＋μn)＝λ(a•b)＋μ(a•n)，
因为a⊥b，所以a•b＝0，又因为aπ，n⊥π，所以a•n＝0，
故a•c ＝0，从而a⊥c.
证法二：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.∵PO⊥π，aπ，∴直线PO⊥a，又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，
∴a⊥平面PAO，又c平面PAO，∴a⊥c.
(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．
2.[2012•全国卷] 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
