分类与整合思想方法的常见应用
山东省平邑实验中学（27330） 杜磊 电话：13854900817
分类是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法.在解答数学题时,有时会出现这样情形，由于被研究的问题包含了多种情况，不能以统一的方法、统一的式子进行解决，这就要求在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在每个子区域内把问题解决，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的思想方法.“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必有“合”.当分类解决问题之后，还必须把它们综合在一起，这种先“分”后“合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论的基本原则是:不重不漏,科学合理.
高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题.
分类讨论的渊源很多，下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.
1.由数学概念引起的分类讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等.
例1 函数 在 上有最大值 ，求实数 的取值范围.
分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当 时， 是一次函数且单调递增;当 时, 是二次函数,单调性与 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.
解: (1)当 时， 在 上为单调增函数，最大值为 ，满足题意.
(2)当 时，函数 ，其对称轴为 .①当 时， 在 上为单调增函数，最大值为 ，满足题意;②当 时，当 即 时， 在 上为单调增函数，最大值为 ，满足题意.
综上所述：当 时，函数 在 上有最大值 .
点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的 都符合题意,所以整合时,把每一类型中 的范围取并集,得到最终答案.
