小题基础练(五) 数学文化
1．饕餮(tāo tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次的所有基本事件有：(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为.
答案：B
2．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为( )
A．七尺五寸 B．六尺五寸
C．五尺五寸 D．四尺五寸
解析：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，设十二节气第n(n∈N*)个节气的日影长为an，则数列{an}为等差数列，设其公差为d，前n项和为Sn，则
解得
所以a10＝a1＋9d＝－9＝，因此，立夏日影长为四尺五寸．
答案：D
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是( )
A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B．问题[三四]中扇形的面积为平方步
C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D．问题[三四]中扇形的面积为平方步
解析：依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120平方步，
问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×＝平方步．
答案：B
4．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________．参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1( )
A．3 B．4
C．5 D．6
