3.1.2 复数的几何意义
自主预习·探新知
情景引入
大家知道实数的几何模型是数轴上的点，即实数和数轴上的点建立了一一对应关系，那么复数的几何模型又是怎样的呢？在1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法，即虚数能用平面内的点来表示．在直角坐标系中，横轴上取对应实部a的点A，纵轴上取对应虚部b的点B，通过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi，这样就将复数与平面内的点建立了一一对应关系，至此找到了复数的几何模型——平面内的点．以后随着对复数的进一步研究，又将复数与平面内的向量建立了一一对应关系，因此复数就有了另一个几何模型——平面内的向量，并且阐述了复数的几何加法和乘法，从而丰富了内涵，至此复数理论也就较完整地建立起来了．
新知导学
1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__，实轴上的点都表示实数，除了__原点__外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的__实部__和__虚部__唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__一一对应__关系．
(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是__(a，b)__，不是(a，bi)．
(3)复数与复平面内__以原点为始点__的向量也可以建立一一对应关系．
如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点
__Z(a，b)__或向量____表示．
复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量O的一一对应关系如下：
3．复数的模
复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为O，则O的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝____．
当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值．
4．复数模的几何意义
复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的__距离__．
由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的__距离__．
预习自测
1．复数z＝－πi在复平面内对应的点Z的坐标为( A )
A．(0，－π) B．(－π，0)
C．(0,0) D．(－π，－π)
[解析] 复数z＝πi的实部为0，虚部为－π，故在复平面内对应的点Z的坐标为(0，－π)，故选A．
2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．
3．已知平行四边形OABC中，O，A，C三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i，则向量的模||＝( D )
A. B．2
C．4 D．
[解析] 由于OABC是平行四边形，所以＝，因此||＝||＝|3－2i|＝．
