第三章 数系的扩充与复数的引入
我们知道，在实数范围内，解方程x2＋1＝0是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集上才能解决，可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事．
16世纪意大利米兰学者卡当(1501～1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法(“卡当公式”)，他把10分成两部分，使它们的乘积等于40，即(5＋)(5－)＝40，尽管他认为(5＋)和(5－)这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无缥缈的．法国数学家笛卡儿(1596～1650)在《几何学》中使用“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来．但这引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数．然而，真理性的东西一定可以经得住时间的考验，并最终占有一席之地．许多数学家经过长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的“幽灵”——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚．虚数成为数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集．
同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本章的学习吧！
随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且在系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体力学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据．
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
自主预习·探新知
情景引入
2018年8月，希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛．一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话．
张明：海纳百川，心阔容海．海、心孰大？
王华：夸张的手法，不可比较．
张明：那么数m，n可否比较大小？
王华：未必．
同学们，你能准确回答张明的问题吗？
新知导学
1．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝__－1__．
全体复数构成的集合叫做__复数集__．
2．复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__．
3．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔__a＝c且b＝d__．
4．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是__a＝0且b＝0__，a＝0是z为纯虚数的__必要不充分__条件．
5．复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔．
