第三章 3.2 第2课时
1．直线a与b的方向向量分别为e＝(2,1，－3)和n＝(－1,1，－)，则a与b的位置关系是( B )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．重合
[解析] ∵e·n＝2×(－1)＋1×1＋(－3)×＝－2＋1＋1＝0，∴e⊥n，∴a⊥b.
2．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么( B )
A．l⊥α B．l∥α
C．l⊂α D．l与α斜交
[解析] ∵a·b＝－4＋4＝0，
∴a⊥b，又∵l⊄α，∴l∥α.
3．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( D )
A．(1，－4,2) B．
C． D．(0，－1,1)
[解析] 因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D．
4．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量为v2＝(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是__垂直__.
[解析] ∵v1·v2＝－2＋0＋2＝0，∴v1⊥v2，∴l1⊥l2.
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
[解析] 用向量法证明线面垂直有两种方法：①基向量法；②坐标向量法．
证法一：设＝a，＝c，＝b，
则＝＋
＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，
∵＝＋＝a＋b，
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)
＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0，
∴⊥，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.
证法二：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，B1(2a,2a,2a)，E(2a,2a，a)，F(a，a,2a)．
∴＝(a，a,2a)－(2a,2a，a)＝(－a，－a，a)，
＝(2a,2a,2a)－(2a,0,0)＝(0,2a,2a)，
＝(0,2a,0)－(2a,0,0)＝(－2a,2a,0)．
∵·＝(－a，－a，a)·(0,2a,2a)
＝0－2a2＋2a2＝0，
·＝(－a，－a，a)·(－2a,2a,0)
＝2a2－2a2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.
