第三章 3.1 3.1.3 3.1.4
请同学们认真完成练案[21]
A级 基础巩固
一、选择题
1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则＝( C )
A．i＋j＋k B．i＋j＋k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
[解析] ＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k.
2．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是( D )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
[解析] 根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D．
3．若a、b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
[解析] a·b＝|a||b|⇒cos〈a，b〉＝1⇒〈a，b〉＝0°，即a与b共线，反之不成立，因为当a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.
4．(2019－2020学年北京市房山区期末检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量的夹角是( B )
A．150° B．135°
C．45° D．30°
[解析] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵AB∥A1B1，AC∥A1C1，
∴∠C1A1B1的补角即为向量与向量的夹角．
∵△C1A1B1为等腰直角三角形，
∴∠C1A1B1＝45°，
∴向量与向量的夹角为180°－45°＝135°，故选B．
5．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( B )
A．30° B．45°
C．60° D．135°
[解析] ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉
＝1－1··cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
6．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|( C )
A． B．
C． D．4
[解析] |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，
∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝.
