第二章 2.4 2.4.2 第2课时
1．抛物线y＝x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是( A )
A．(2，－1) B．(1，－1)
C．(，－) D．(，－)
[解析] y＝x2⇒x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．
2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( C )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
[解析] 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，由Δ>0得k>－1，
则＝4，即k＝2.
3．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝__0或1__.
4．在抛物线y＝4x2上一点，点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是__(，1)__.
5．(2019－2020福州一中学段模考)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，斜率为k的直线l经过点P(0，－4)，l与C有公共点A，B，当k＝2时，A与B重合．
(1)求C的方程；
(2)若A为PB的中点，求|AB|.
[解析] (1)当k＝2时，直线l：y＝2x－4，
联立方程组得，消去y得x2－4px＋8p＝0，
由题意Δ＝16p2－32p＝0，解得p＝2或p＝0 (舍去)，故C的方程为x2＝4y.
(2)由(1)得，当k＞2或k＜－2时直线与抛物线有两个不同交点，
直线方程l：y＝kx－4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程，消去y得x2－4kx＋16＝0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝16，
又A为PB的中点，则＝2，
∴x1x2＝2x＝16，x1＋x2＝3x1＝4k.
∴x＝8，k2＝，|x1－x2|＝|x1|＝2，
∴|AB|＝·|x1－x2|＝×2＝2.
