第二章 2.3 2.3.2 第2课时
请同学们认真完成练案[16]
A级 基础巩固
一、选择题
1．直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 将直线x＋y＝1代入4x2－y2＝1
得3x2＋2x－2＝0.
设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝.
故选B．
2．(2019－2020学年湖南省长沙市望城区二中月考)设双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率e的取值范围是( A )
A． B．(，2)
C．(1,2) D．(2,2)
[解析] 要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线l的斜率，即＜1，所以e2＝1＋＜1＋1＝2，所以e∈(1，)故选A．
3．(2017·天津文，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( D )
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
[解析] 根据题意画出草图如图所示.
由△AOF的边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.
又点A在双曲线的渐近线y＝x上，
∴＝tan60°＝.
又a2＋b2＝4，
∴a＝1，b＝，
∴双曲线的方程为x2－＝1.
故选D．
4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( C )
[解析] 方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a、b一致．应选C．
