第二章 2.3 2.3.1
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( B )
A． B．1
C．1或－2 D．1或
[解析] 由题意得4－a2＝a＋2，
∴a2＋a－2＝0，
∴a＝1或－2(舍去)
故选B．
2．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点(a>0)，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是( D )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
[解析] 由题意知c＝，
∵PF1⊥PF2，
∴在△ABC中，|PF1|2＋|PF2|2＝20.
又|PF1|·|PF2|＝2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝16，
∴a2＝4，
∴b2＝1.
∴方程为－y2＝1.故选D．
3．(2019－2020福州一中学段模考)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，且PF2的中点M在以O为圆心OF1为半径的圆上，则|PF2|＝( C )
A．12 B．9
C．4 D．2
[解析] 如图，连接F1M、F1P，由圆的性质可得F1M⊥F2P，又M为PF2的中点，
所以|F1P|＝|F1F2|＝2＝12，
则|PF2|＝|F1P|－8＝4.故选C．
4．(2020·浙江湖州期末调研)双曲线C：－y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，则|PF1|－|PF2|＝__2__.
5．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)c＝，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0,5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.
[解析] (1)因为c＝，且焦点在x轴上，故可设标准方程为－＝1(a2<6)．
因为双曲线经过点(－5,2)，
所以－＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)因为双曲线的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为2a＝6,2c＝10，所以a＝3，c＝5.
所以b2＝52－32＝16.
所以所求双曲线标准方程为－＝1.
