课时作业6 函数的极值与导数
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是( B )
①f(x)在(－3,1)上为增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；
④x＝2是f(x)的极小值点．
A．①②③ B ．②③
C．③④ D．①③④
解析：当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，x＝－1是f(x)的极小值点；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，所以f(x)在(2,4)上为减函数，x＝2是f(x)的极大值点．故②③正确．
2．函数y＝2x3－3x2( C )
A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值
B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值
C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1
D．以上都不对
解析：y′＝6x(x－1)，令y′＝0，得x＝0，或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
|
x
|
(－∞，0)
|
0
|
(0,1)
|
1
|
(1，＋∞)
|
|
f′(x)
|
＋
|
0
|
－
|
0
|
＋
|
|
f(x)
|
单调递增
|
0
|
单调递减
|
－1
|
单调递增
|
所以当x＝0时有极大值f(0)＝0，当x＝1时有极小值f(1)＝－1.
3．函数f(x)＝x2－lnx的极值点为( B )
A．0,1，－1 B .
C．－ D．，－
解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝(x＝－舍去)．当x>时，f′(x)>0；当0<x<时，f′(x)<0，所以当x＝时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝，无极大值点，选B．
4．若函数f(x)＝ax－lnx在x＝处取得极值，则实数a的值为( A )
A． B .
C．2 D．
解析：f′(x)＝a－，令f′＝0，即a－＝0，解得a＝.
5.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：由图可得函数y＝(1－x)f′(x)的零点为－2,1,2，则当x<1时，1－x>0，此时在(－∞，－2)上y>0，f′(x)>0，在(－2,1)上y<0，f′(x)<0；当x>1时，1－x<0，此时在(1,2)上y>0，f′(x)<0，在(2，＋∞)上y<0，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，－2)为增函数，在(－2,2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此f(x)有极大值f(－2)，极小值f(2)，故选D．
