课时作业4 复合函数求导及应用
时间:45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是( A )
A.y=un,u=x2-1
B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n
D.y=(t-1)n,t=x2-1
2.函数y=5的导数为( C )
A.y′=54
B.y′=54
C.y′=54(1-x-2)
D.y′=54(1+x-2)
解析:y′=54·′=54.故选C.
3.设y=-2e3xsinx,则y′等于( D )
A.-2e3xcosx B.-2e3xsinx
C.2e3xsinx D.-2e3x(3sinx+cosx)
解析:y′=-2(3e3xsinx+e3xcosx)=-2e3x(3sinx+cosx).
4.函数y=cos(1+x2)的导数是( C )
A.y′=2xsin(1+x2) B.y′=-sin(1+x2)
C.y′=-2xsin(1+x2) D.y′=2cos(1+x2)
解析:y′=[cos(1+x2)]′=-sin(1+x2)(1+x2)′=-2xsin(1+x2).故选C.
5.函数y=xln(2x+5)的导数为( B )
A.y′=ln(2x+5)-
B.y′=ln(2x+5)+
C.y′=2xln(2x+5)
D.y′=
解析:y′=[xln(2x+5)]′=x′ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]′=ln(2x+5)+x··(2x+5)′=ln(2x+5)+.
6.已知函数y=ex-e-x,下列说法正确的是( C )
A.y′=ex-e-x B.y′=2ex
C.y′>0恒成立 D.方程y′=0有实数解
解析:由于y′=(ex-e-x)′=ex+e-x>0,所以选项C正确.
7.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( A )
A. B.2 C.3 D.0
解析:设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.∵y′=,∴y′|x=x0==2,解得x0=1,
∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).
∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d==,
即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.
8.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=,则在时刻t=40 min的降雨强度为( D )
A.20 mm/min B.400 mm/min
C. mm/min D. mm/min
解析:f′(t)=·10=,
∴f′(40)==.