第4章 章末综合提升
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
求圆的方程
【例1】 求圆心在圆＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程．
[解] 设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
因为圆＋y2＝2在直线x＝－的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－都相切，所以a＞－.
所以r＝a＋，r＝|b|.
又圆心(a，b)在圆＋y2＝2上，
所以＋b2＝2，联立
解得
所以所求圆的方程是＋(y－1)2＝1，
或＋(y＋1)2＝1.
采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组).
(3)解出a, b, r(或D, E, F).
(4)代入圆的方程．
1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．
[解] 设圆心为M(m，0)(m∈Z)，
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25，
因为m为整数，故m＝1，
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
直线与圆的位置关系
【例2】 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
[解] (1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4, －3).
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
