课时作业18 数学归纳法
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是( D )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
解析：观察发现应选D.
2．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( A )
A．当n＝4时命题不成立
B．当n＝6时命题不成立
C．当n＝4时命题成立
D．当n＝6时命题成立
解析：因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．
4．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( C )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.
5．数列{an}中的an＝＋＋＋…＋，则an＋1的表达式是( B )
A．an＋1＝an＋－
B．an＋1＝an＋＋－
C．an＋1＝an＋＋－
D．an＋1＝an＋－
解析：当n＝k时，左边的第一项为，当n＝k＋1时，左边的第一项为，所以左边加上＋的同时，还要减去.故选B.
6．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为( B )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：当n＝k时左端的第一项为(k＋1)，最后一项为(k＋k)，当n＝k＋1时，左端的第一项为(k＋2)，最后一项为(2k＋2)，∴左边乘以(2k＋1)(2k＋2)．同时还要除以(k＋1)．故选B.
7．已知数列{an}的前n项之和为Sn，且Sn＝2n－an(n∈N*)，若已经算出a1＝1，a2＝，则猜想an等于( D )
A. B.
C. D.
解析：∵a1＝1，a2＝，
又S3＝1＋＋a3＝6－a3，∴a3＝.
同理，可求a4＝，观察1，，，，…，
猜想an＝.
8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( A )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
