课时作业17 反证法
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( D )
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．
A．①② B．①③
C．①③④ D．①②③④
2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( D )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
3．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°”时，反设正确的是( A )
A．三个内角都小于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角中至多有一个大于60°
D．三个内角中至多有两个大于60°
解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都小于60°”．
4．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的反设为( C )
A．a<0，b<0，c<0 B．a≤0，b>0，c>0
C．a、b、c不全是正数 D．abc<0
5．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( B )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
6．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( D )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2，则(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.又(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6，矛盾．故三个数中至少有一个不小于2.
7．设a、b均为正整数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的是( C )
A.＋<1 B.＋≤1
C.＋≤2 D.＋≥2
解析：假设A正确．依题意可取a＝1，b＝2，则＋＝1＋＝>1，与＋<1矛盾，故A不正确．同理可推出B、D不正确，故选C.
二、填空题
8．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．
9．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设x＝a或x＝b.
10．若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，＋∞)．
三、解答题
11．已知x，y∈R，且x＋y>2，证明：x，y中至少有一个大于1.
证明：假设x，y都不大于1，即x≤1，y≤1，则x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，所以假设不成立，故x，y中至少有一个大于1.
12．设a、b、c均为奇数，求证：方程ax2＋bx＋c＝0无整数根．
证明：假设方程有整数根x＝x0，x0∈Z，
则ax＋bx0＋c＝0，c＝－(ax＋bx0)．
①若x0为偶数，则ax与bx0均为偶数，所以ax＋bx0为偶数，从而c为偶数，与题设矛盾．
②若x0为奇数，则ax与bx0均为奇数，所以ax＋bx0为偶数，从而c为偶数，与题设矛盾．
综上所述，方程ax2＋bx＋c＝0没有整数根．
