课时作业16 综合法和分析法
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．用分析法证明命题“已知a－b＝1.求证：a2－b2＋2a－4b－3＝0.”最后要具备的等式为( D )
A．a＝b B．a＋b＝1
C．a＋b＝－3 D．a－b＝1
解析：要证a2－b2＋2a－4b－3＝0，
即证a2＋2a＋1＝b2＋4b＋4，即(a＋1)2＝(b＋2)2.
即证|a＋1|＝|b＋2|，
即证a＋1＝b＋2或a＋1＝－b－2，
故a－b＝1或a＋b＝－3，而a－b＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．
2．下列函数f(x)中，满足“任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( A )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选项C，D中的两个函数在(0，＋∞)上均为增函数，B选项中的函数在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．只有f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．故选A.
3．设a、b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( D )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
解析：∵a－|b|>0，∴|b|<a，∴a>0，∴－a<b<a，∴b＋a>0.
4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是( C )
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．由a的取值确定
解析：假设P<Q.∵要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证2a＋7＋2<2a＋7＋2，
只要证a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证0<12.
∵0<12成立，∴P<Q成立．
5．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，则a与b的大小关系为( A )
A．a>b B．a<b
C．a＝b D．a≤b
解析：∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，b＝ex<1(x<0)，∴a>b.
6．若x，y∈R，则下面四个式子中恒成立的是( B )
A．log2(1＋2x2)>0
B．x2＋y2≥2(x－y－1)
C．x2＋3xy>2y2
D.<
解析：∵1＋2x2≥1，∴log2(1＋2x2)≥0，故A不正确；x2＋y2－2(x－y－1)＝(x－1)2＋(y＋1)2≥0，故B正确；令x＝0，y＝1，则x2＋3xy<2y2，故C不正确；令x＝3，y＝2，则>，故D不正确．
7．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( C )
A．18 B．24
C．60 D．90
解析：设{an}的公差为d，由题意知：a＝a3·a7，即(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，可得：a1＝－d，S8＝8a1＋d＝16d＝32，∴d＝2，a1＝－3.S10＝10×(－3)＋×2＝60.
8．在△ABC中，若tanA·tanB>1，则△ABC是( A )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：∵tanA·tanB＝>1.∴－1>0，
∴＝>0.
∵cos(A＋B)＝－cosC，即>0，
由此知A，B，C均为锐角，故△ABC为锐角三角形．
二、填空题
9．已知x，y∈(0，＋∞)，a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，则a，b的大小关系是a≥b.
解析：因为a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，所以a－b＝(x4＋y4)－(x3y＋xy3)＝(x4－x3y)＋(y4－xy3)＝x3(x－y)＋y3(y－x)＝(x3－y3)(x－y)＝(x－y)2(x2＋xy＋y2)≥0.故a≥b.
10．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是(0,16]．
解析：∵a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)·＝10＋≥10＋2＝16，∴a＋b的最小值为16，
∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.
