3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.2 空间向量的数乘运算
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解空间向量的概念．(难点)
2．掌握空间向量的线性运算．(重点)
3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)
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1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．
2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养．
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1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||．
2．几类常见的空间向量
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名称
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方向
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模
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记法
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零向量
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任意
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0
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0
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单位向量
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任意
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1
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相反向量
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相反
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相等
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a的相反向量：－a
的相反向量：
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相等向量
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相同
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相等
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a＝b
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3．向量的加法、减法
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空间向量的运算
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加法
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＝＋＝a＋b
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减法
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＝－＝a－b
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加法运算律
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(1)交换律：a＋b＝b＋a
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
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思考1：(1)空间中，a，b，c为不共面向量，则a＋b＋c的几何意义是什么？
(2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？
[提示] (1)以a，b，c为相邻棱的平行六面体的体对角线．
(2)任意两个向量都可平移到同一平面，故空间向量的加减运算与平面向量的加减运算类似．
4．空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a．
5．共线向量和共面向量
(1)共线向量
①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
②共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb．
③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使＝＋t．
(2)共面向量
①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b．
③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y．
思考2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？
(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝＋＋，则点P与点A，B，C是否共面？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
(2)由＝＋＋得－＝(－)＋(－)
即＝＋，因此点P与点A，B，C共面．
