3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解函数的单调性与导数的关系．(重点)
2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)
3．能根据函数的单调性求参数．(难点)
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1．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．
2．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.
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1．函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
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导数
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函数的单调性
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f′(x)>0
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单调递增
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f′(x)<0
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单调递减
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f′(x)＝0
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常函数
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(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
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函数的单调性
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导数
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单调递增
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f′(x)≥0
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单调递减
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f′(x)≤0
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常函数
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f′(x)＝0
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思考：在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？
[提示] 必要不充分条件．
2．函数的变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．
1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
D [y′＝3x2＋1>0，故选D．]
2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
A [∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x>0，∴f(x)在R上是增函数．]
3．若函数f(x)的导数f′(x)＝x(x－2)，则f(x)在区间________上单调递减．
[0,2] [∵f′(x)＝x(x－2)，由f′(x)≤0得，0≤x≤2，
∴f(x)在[0,2]上单调递减．]
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导数与函数图象的关系
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【例1】 (1)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
(2)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的 ( )
(1)D (2)C [(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：
