第2章 圆锥曲线与方程
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
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圆锥曲线的定义及应用
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【例1】 (1)已知动点M的坐标满足方程5=|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.以上都不对
(2)已知双曲线C的离心率为2,左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( )
A. B.
C. D.
(1)C (2)B [(1)把轨迹方程5
=|3x+4y-12|写成=.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x+4y-12=0的距离相等.∴点M的轨迹是以原点为焦点,直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.
(2)由e==2,得c=2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2a,
又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a,
|F2A|=2a.
又|F1F2|=2c=4a,
所以cos∠AF2F1===.故选B.]
“回归定义”解题的三点应用
应用一:在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程;
应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;
应用三:在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.
提醒:应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.