2.2.2 双曲线的简单几何性质
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)
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1．通过学习双曲线的简单几何性质，培养学生的直观想象素养.
2.借助双曲线的几何性质解题，培养逻辑推理、数学运算的素养.
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1．双曲线的几何性质
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标准方程
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－＝1(a＞0，b＞0)
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－＝1(a＞0，b＞0)
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图形
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性质
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范围
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x≥a或x≤－a
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y≤－a或y≥a
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对称性
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对称轴：坐标轴，对称中心：原点
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顶点
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(－a,0)，(a,0)
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(0，－a)，(0，a)
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轴长
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实轴长＝2a，虚轴长＝2b
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离心率
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e＝>1
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渐近线
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y＝±x
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y＝±x
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思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？
[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．
(2)e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．
2．双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝.
1．双曲线－y2＝1的顶点坐标是( )
A．(4,0)，(0,1) B．(－4,0)，(4,0)
C．(0,1)，(0，－1) D．(－4,0)，(0，－1)
B [由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]
2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A．－＝1
B．－＝1或－＝1
C．－＝1
D．－＝1或－＝1
B [由题意可知2a＝10,2b＝6，即a＝5，b＝3，∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1，故选B．]
3．若点M(x0，y0)是双曲线－＝1上任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________；该双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．
(－∞，－4]∪[4，＋∞) R y＝±x [由－＝1得≥1，即x0≥4或x0≤－4，y0∈R.
渐近线方程为y＝±x，离心率e＝＝＝.]
