第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)
2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)
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借助直线与椭圆的位置关系，培养学生直观想象与数学运算的素养.
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1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔＋＝1；
点P在椭圆内部⇔＋<1；
点P在椭圆外部⇔＋>1.
2．直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
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位置关系
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解的个数
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Δ的取值
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相交
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两解
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Δ>0
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相切
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一解
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Δ＝0
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相离
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无解
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Δ<0
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思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？
[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．
3．直线与椭圆相交的弦长公式
(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
(2)求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝·
＝·.
1．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是( )
A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上
D [由题意可知＋＝1，∴点(2，－3)在椭圆上，故选D．]
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
C [联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]
3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
[由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝＝＝.]
