2.4.2 抛物线的简单几何性质
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．掌握抛物线的几何性质．(重点)
2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
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1．通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养．
2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．
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1．抛物线的几何性质
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标准方程
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y2＝2px(p＞0)
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y2＝－2px(p＞0)
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x2＝2py(p＞0)
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x2＝－2py(p＞0)
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图形
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性质
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焦点
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准线
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x＝－
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x＝
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y＝－
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y＝
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范围
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x≥0，y∈R
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x≤0，y∈R
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y≥0，x∈R
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y≤0，x∈R
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对称轴
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x轴
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y轴
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顶点
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(0,0)
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离心率
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e＝1
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2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
3．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
1．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是( )
A． B．
C．1 D．
D [抛物线方程可化为x2＝y，其准线方程为y＝－，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M到x轴的距离是．]
2．顶点在原点，对称轴为x轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是( )
A．y2＝16x B．y2＝8x
C．y2＝±8x D．y2＝±16x
C [顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线方程有两个：y2＝－2px，y2＝2px(p>0)，由顶点到准线的距离为2知p＝4，故选C．]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．10 B．8
C．6 D．4
B [|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]
4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
2 [F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1．
∴AF⊥x轴，
∴|BF|＝|AF|＝2．]
