2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
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1．通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．
2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养．
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1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
2．双曲线的标准方程
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焦点在x轴上
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焦点在y轴上
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标准方程
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－＝1(a＞0，b＞0)
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－＝1(a＞0，b＞0)
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焦点
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F1(－c,0)，F2(c,0)
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F1(0，－c)，F2(0，c)
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a，b，c的关系
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c2＝a2＋b2
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1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
D [由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP．]
2．双曲线－x2＝1的焦点坐标是( )
A．(±，0) B．(0，±)
C．(0，±2) D．(±2,0)
C [根据题意，双曲线的方程为－x2＝1，其焦点在y轴上，且c＝＝2；则其焦点坐标为(0，±2)．]
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是( )
A．k>3 B．2<k<3
C．k＝2 D．0<k<2
C [双曲线－＝1的焦点坐标为(±，0)，椭圆的焦点坐标为(±，0)，由椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，可得3＋k＝9－k2，因为k>0，所以解得k＝2．]
4．与双曲线－＝1具有相同焦点的双曲线方程是________(只写出一个即可)．
－＝1 [与－＝1具有相同焦点的双曲线方程为－＝1(－8＜k＜10)．]
