第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)
2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)
|
1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养．
2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．
|
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔＋＝1；
点P在椭圆内部⇔＋<1；
点P在椭圆外部⇔＋>1．
2．直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
|
位置关系
|
解的个数
|
Δ的取值
|
|
相交
|
两解
|
Δ>0
|
|
相切
|
一解
|
Δ＝0
|
|
相离
|
无解
|
Δ<0
|
思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？
[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．
1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
C [联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16＞0，
∴直线与椭圆相交．]
2．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为( )
A．2 B．±
C．±2 D．±2
C [由消去y并整理得
2x2－2mx＋m2－4＝0．
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8．∴m＝±2．]
3．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
(－，) [∵点A在椭圆内部，
∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜．]
4．经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
[由椭圆的方程知F1(－1,0)，
∴直线l的方程y＝tan 60°(x＋1)＝(x＋1)．
与椭圆的方程联立，并消去y得7x2＋12x＋4＝0．
由根与系数关系，知xA＋xB＝－，xAxB＝，
∴|AB|＝
＝＝．]
