2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
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1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题学习，培养学生的数学运算素养．
2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养．
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1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示] (1)点的轨迹是线段F1F2．
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
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焦点在x轴上
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焦点在y轴上
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标准方程
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＋＝1(a>b>0)
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＋＝1(a＞b＞0)
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焦点
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(－c,0)与(c,0)
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(0，－c)与(0，c)
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a，b，c的关系
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c2＝a2－b2
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1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
D [由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10．]
2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
C [由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，
∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1．]
3．已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2作直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为________．
40 [由已知得a＝10，
△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝40．]
4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．
－1或－ [原方程可化为＋＝1．
依题意，得即
所以k的值为－1或－．]
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求椭圆的标准方程
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【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[解] (1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
