2.2.2 反证法
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)
|
通过反证法的学习，培养学生的逻辑推理的核心素养.
|
反证法的定义及证题的关键
思考1：反证法的实质是什么？
[提示] 反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．
思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？
[提示] 反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．
1．“a<b”的反面应是( )
A．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a＝b或a>b
[答案] D
2．用反证法证明“如果a＞b，那么＞”，假设的内容应是________．
[答案] ≤
3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
③①② [由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.]
4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
①②③ [反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]
|
|
用反证法证明否定性命题
|
【例1】 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：，，不成等差数列．
[证明] 假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝，
∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝.
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
