2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)
2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)
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通过综合法、分析法的学习和应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.
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1．综合法
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定义
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推证过程
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特点
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利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法
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→→→…→(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)
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顺推证法或由因导果法
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2.分析法
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定义
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框图表示
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特点
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一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法
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逆推证法或执果索因法
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思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
思考2: 综合法与分析法有什么区别？
[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里②是①的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [②⇒①，∴②是①的充分条件．]
2．命题“对于任意角θ，cos4 θ－sin4 θ＝cos 2 θ”的证明：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ－sin2 θ)(cos2 θ＋sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2 θ”，其过程应用了( )
A．分析法 B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法
B [从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．]
3．要证明A＞B，若用作差比较法，只要证明________．
A－B＞0 [要证A＞B，只要证A－B＞0. ]
4．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证______，由于______显然成立，因此原不等式成立．
a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0 [用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．]
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综合法的应用
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【例1】 (1)已知a，b是正数，且a＋b＝1，证明：＋≥4.
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
①求证：A的大小为；
②若sin B＋sin C＝，证明△ABC为等边三角形．
[证明] (1)法一：∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，
∴＋＝＝≥4.
法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，
＋≥2>0，
∴(a＋b)≥4.
又a＋b＝1，
∴＋≥4.
法三：＋＝＋＝1＋＋＋1
≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．
