2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解并掌握直线与圆的位置关系:相切、相交、相离.(重点)
2.会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系.(难点)
3.会求简单的弦长及圆的切线方程等问题.(重点)
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1.通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系培养直观想象素养.
2.通过求简单的弦长及圆的切线方程等问题提升数学运算素养.
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直线与圆的位置关系
直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判断方法:
位置关系
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图示
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几何法
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代数法
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相离
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d>r
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Δ<0
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相切
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d=r
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Δ=0
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相交
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d<r
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Δ>0
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其中Δ是由消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程的判别式.
思考:用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点?
提示:用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系,是从不同的方面、不同的思路来判断的.“几何法”侧重于“形”,很好地结合了图形的几何性质;“代数法”侧重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”.
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交
D [圆心为(1,-1),圆心距d==<3=r,所以直线与圆相交.]
2.当直线x+y-a=0与圆x2+(y-1)2=2相离时,a的取值范围是________.
(-∞,-1)∪(3,+∞) [圆x2+(y-1)2=2的圆心为(0,1),半径为r=,圆心(0,1)到直线x+y-a=0的距离d=,依题意,>,解得a<-1或a>3.]
3.直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A,B两点,则|AB|=________.
2 [d==,
所以|AB|=2=2=2.]
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直线与圆位置关系的判断
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【例1】 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:
有两个公共点;只有一个公共点;没有公共点.
[解] 法一:将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得,
(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.
∵Δ=4m(3m+4),
∴当Δ>0时,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
当Δ=0时,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
当Δ<0时,即-<m<0,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
法二:已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,
即圆心为C(2,1),半径r=2.
圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d==.
当d<2时,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
当d=2时,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
当d>2时,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.