1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)
3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)
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1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养.
2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养.
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1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
2．二项展开式的通项公式
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？
[提示] 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.
1．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
B [由二项式定理的公式特征可知n＝10.]
2．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C等于( )
A．2n B．2n－1
C．3n D．1
C [原式＝(2＋1)n＝3n.]
3．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________．
40 10 [∵T3＝C(2x)2＝C22x2＝40x2，
∴第3项的系数为40，第3项的二项式系数为C＝10.]
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二项式定理的正用和逆用
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【例1】 (1)求的展开式；
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
[解] (1)法一：＝C()4－C()3·＋C()2·－C·＋C＝x2－2x＋－＋.
法二：＝＝(2x－1)4
＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋－＋.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
