科学思维系列——小船渡河模型
一、三个速度
v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)．
二、两个问题
1．渡河时间
(1)船头与河岸成α角时，渡河时间为t＝(d为河宽)．
(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)．
2．最短航程
(1)若v水<v船，则当合速度v合垂直于河岸时，航程最短，xmin＝d.船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝.如图①所示．
(2)若v水>v船，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．如图②所示，以v水矢量的末端为圆心、以v船矢量的大小为半径画弧，从v水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，由图可知船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝，最短航程xmin＝＝d.
【典例】 某条河宽度为700 m，河水均匀流动，流速为2 m/s.若小船在静水中的运动速度为4 m/s，则小船的船头向哪个方向行驶才能恰好到达河的正对岸？渡河时间为多少？
【解析】 如图所示，小船实际的运动是垂直于河流方向的运动，可以将小船实际的运动看做小船斜向上游方向和沿水流方向两个分运动的合运动．由图可见sin α＝＝＝0.5，α＝30°
即小船应朝向上游行驶，船头指向与河岸成60 °夹角．由图还可以得到合速度的大小为v＝＝ m/s≈3.5 m/s
渡河时间为t＝＝ s＝200 s.
[拓展] 在【典例】中，若小船行驶的过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸(如图所示)，则渡河的时间是多少？小船到达对岸时向下游偏移了多少？
解析：若行驶的过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡河的时间为t′＝＝ s＝175 s.
小船到达对岸时向下游偏移了x′＝v2t′＝2×175 m＝350 m.
答案：175 s 350 m
解题通法
小船渡河问题的分析要点
(1)区别三个速度：水流速度v水、船在静水中的速度v船、船的实际速度(即船的合速度)v合．
(2)分清两种情况：
①渡河位移最短：船的实际速度(即船的合速度)与河岸垂直，最短位移为河宽d.
②渡河时间最短：船头垂直于河岸，最短时间tmin＝.
