计算题专练(一)
共2小题，共32分。要求写出必要的文字说明和方程式，只写最后结果不给分。
1.(2020·河北衡水中学高三第一次联考)(12分)如图所示，两根光滑、平行且足够长的金属导轨倾斜固定在水平地面上，导轨平面与水平地面的夹角θ＝37°，间距为d＝0.2 m，且电阻不计。导轨的上端接有阻值为R＝7 Ω的定值电阻和理想电压表。空间中有垂直于导轨平面斜向上的、大小为B＝3 T的匀强磁场。质量为m＝0.1 kg、接入电路有效电阻r＝5 Ω的导体棒垂直导轨放置，无初速度释放，导体棒沿导轨下滑一段距离后做匀速运动，取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，求：
(1)导体棒匀速下滑的速度大小和导体棒匀速运动时电压表的示数；
(2)导体棒下滑l＝0.4 m过程中通过电阻R的电荷量。
答案 (1)20 m/s 7 V (2)0.02 C
解析 (1)设导体棒匀速运动时速度为v，通过导体棒电流为I。
由平衡条件：mgsinθ＝BId①
导体棒切割磁感线产生的电动势为E＝Bdv②
由闭合电路欧姆定律得I＝③
联立①②③得v＝20 m/s④
由欧姆定律得U＝IR⑤
联立①⑤得U＝7 V⑥
(2)由电流定义式得Q＝t⑦
由法拉第电磁感应定律得＝⑧
ΔΦ＝B·ld⑨
由欧姆定律得＝⑩
由⑦⑧⑨⑩得Q＝0.02 C。
2．(2019·山东聊城二模)(20分)如图a所示，轻质弹簧左端固定在墙上，自由状态时右端在C点，C点左侧地面光滑、右侧粗糙。用可视为质点的质量为m＝1 kg的物体A将弹簧压缩至O点并锁定，以O点为原点建立坐标轴。现用水平向右的拉力F作用于物体A，同时解除弹簧锁定，使物体A做匀加速直线运动，拉力F随位移x变化的关系如图b所示，运动到0.225 m处时，撤去拉力F，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求物体A与粗糙地面间的动摩擦因数以及向右运动至最右端的位置D点的坐标；
(2)若在D点给物体A一向左的初速度，物体A恰好能将弹簧压缩至O点，求物体A到C点时的速度；
(3)质量为M＝3 kg的物体B在D点与静止的物体A发生弹性正碰，碰后物体A向左运动并恰能压缩弹簧到O点，求物体B与A碰撞前的瞬时速度。
答案 (1)0.5 0.45 m (2) m/s (3) m/s
解析 (1)由于物体A做匀加速直线运动，结合图象可知：
从O到C点的过程中：F弹＋F＝ma
在C点，弹簧处于自由状态，弹簧弹力FC弹＝0，拉力FC＝5 N，解得：a＝5 m/s2
在C点右侧，由牛顿第二定律有：F－μmg＝ma，
由图象可知拉力F＝10 N
解得：μ＝0.5
从O到C点，A做匀加速直线运动，则：v＝2axOC
解得：vC＝1 m/s
从C到D的过程中，由动能定理得：
Fx1－μmg·xCD＝0－mv
其中x1＝0.225 m－0.1 m＝0.125 m
解得：xCD＝0.35 m
所以D点坐标为：xD＝xOC＋xCD＝0.45 m。
