计算题专练(二)
共2小题，共32分。要求写出必要的文字说明和方程式，只写最后结果不给分。
1.(2019·昆明市模拟)(12分)2018年10月23日，港珠澳大桥开通，这是建筑史上里程最长、投资最多、施工难度最大的跨海大桥。如图所示的水平路段由一段半径为48 m的圆弧形弯道和直道组成。现有一总质量为2.0×103 kg、额定功率为90 kW的测试汽车通过该路段，汽车可视为质点，取重力加速度g＝10 m/s2。
(1)若汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力是车重的1.2倍，求该汽车安全通过此弯道的最大速度；
(2)若汽车由静止开始沿直道做加速度大小为3 m/s2的匀加速运动，在该路段行驶时受到的阻力为车重的0.15倍，求该汽车匀加速运动的时间及3 s末的瞬时功率。
答案 (1)24 m/s (2)3.3 s 81 kW
解析 (1)径向最大静摩擦力提供向心力时，汽车通过此弯道的速度最大，设最大速度为vm，
则有：f径向＝m
根据题意f径向＝1.2mg
代入数据解得：vm＝24 m/s。
(2)汽车在匀加速过程中：F－f＝ma
当功率达到额定功率时，P0＝Fv1
v1＝at1
代入数据解得：t1＝3.3 s
t＝3 s<t1＝3.3 s
则汽车在该过程中始终做匀加速运动，有：
v＝at
P＝Fv
则3 s末发动机功率为：P＝81 kW。
2．(2019·成都市三诊)(20分)如图，竖直面内固定的绝缘轨道abc，由半径R＝3 m的光滑圆弧段bc与长L＝1.5 m的粗糙水平段ab在b点相切而构成，O点是圆弧段的圆心，Oc与Ob的夹角θ＝37°；过c点的竖直虚线左侧有方向竖直向上、场强大小E＝10 N/C的匀强电场，Ocb的外侧有一长度足够长、宽度d＝1.6 m的矩形区域efgh，ef与Oc交于c点，ecf与水平向右的方向所成的夹角为β(53°≤β≤147°)，矩形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量m2＝3×10－3 kg、电荷量q＝3×10－3 C的带正电小物体Q静止在圆弧轨道上b点，质量m1＝1.5×10－3 kg的不带电小物体P从轨道右端a以v0＝8 m/s 的水平速度向左运动，P、Q碰撞时间极短，碰后P以1 m/s的速度水平向右弹回。已知P与ab间的动摩擦因数μ＝0.5，P、Q均可视为质点，Q的电荷量始终不变，忽略空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
(1)碰后瞬间，圆弧轨道对物体Q的弹力大小FN；
(2)当β＝53°时，物体Q刚好不从gh边穿出磁场，求区域efgh内所加磁场的磁感应强度大小B1；
(3)当区域efgh内所加磁场的磁感应强度为B2＝2 T时，要让物体Q从gh边穿出磁场且在磁场中运动的时间最长，求此最长时间t及对应的β值。
答案 (1)4.6×10－2 N (2)1.25 T
(3) s 90°或143°
解析 (1)设P碰撞前、后的速度分别为v1和v1′，Q碰后的速度为v2。
从a到b，对P，由动能定理有：
－μm1gL＝m1v－m1v，
代入数据得：v1＝7 m/s，
碰撞过程中，对P、Q组成的系统，由动量守恒定律有：
m1v1＝m1v1′＋m2v2，
设向左为正方向，由题意：v1′＝－1 m/s，
代入数据得：v2＝4 m/s，
