思想方法7 微元累积法
[方法概述]
高中物理中有很多复杂模型不能直接用已有知识和方法解决，可以在对问题做整体的考察后，选取该问题过程中的某一微小单元进行分析，通过对微元的物理分析和描述，找出该微元所具有的物理性质和运动变化规律，从而获得解决该物理问题整体的方法。比如，物体做变加速运动时，若从整体着手研究，则难以在高中物理层面展开，不过当我们用过程微元法，把物体的运动过程按其经历的位移或时间等分为多个小量，将每个微元过程近似为高中物理知识所能处理的过程，在得出每个微元过程的相关结果后，再进行数学求和，这样就能得到物体复杂运动过程的规律。再比如研究对象难以选择的情形，可以把实体模型等分为很多很多的等份，变成一个理想化模型，如刚体可以等分成无数个质点、带电体可以等分成很多点电荷来研究，先研究其中一份，再研究个体与整体的关系，运用物理规律，辅以数学方法求解，由此求出整体受力或运动情况，在中学阶段比较常见的有类似流体问题、铁链条的连续体模型等。
[典型例题]
典例1 质量为m的物体从地面以初速度v0竖直上抛，经过t1时间达最高点，在运动过程中受到的阻力f＝kv(k是常数)，求物体上升的最大高度。
解析 物体上升过程初速度为v0，末速度为0。设上升的最大高度为H，速度为v时加速度为a，根据牛顿第二定律
mg＋kv＝ma
可得a＝g＋
取一段时间微元Δt，则Δv＝aΔt，在0～v0区间内对Δv＝a·Δt求和，有∑Δv＝∑(g＋)Δt
可得v0＝gt1＋
解得物体上升的最大高度H＝。①
答案
名师点评 本题因物体上升、下落过程受到变化的阻力，加速度变化，所以需要把物体的运动过程进行微元处理，在每一小段的时间内可以认为加速度一定，再进行时间的累积，就可以求出结果。
[变式1] 接上题，上题条件不变，物体从最高点下落，当物体到达地面时速度刚好达到最大，求其下落时间t2。
答案 ＋－t1
解析 设物体到达地面的速度为vm，则有
kvm＝mg②
物体下落过程中mg－kv＝ma③
∑Δv＝∑aΔt④
由①②③④得：t2＝＋－t1。
典例2 (2019·福州高考模拟)如图甲所示，空间存在着一个范围足够大的竖直向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B；边长为L的正方形金属框abcd(简称方框)放在光滑的水平地面上，其外侧套着一个与方框边长相同的U形金属框架MNPQ(仅有MN、NP、PQ三条边，简称U形框)，U形框的M、P端的两个触点与方框接触良好且无摩擦，其他地方没有接触。两个金属框每条边的质量均为m，每条边的电阻均为r。
(1)若方框固定不动，U形框以速度v0垂直NP边向右匀速运动，当U形框的接触点M、Q端滑至方框的最右侧时，如图乙所示，求：U形框上N、P两端的电势差UNP；
(2)若方框不固定，给U形框垂直NP边向右的水平初速度v0，U形框恰好不能与方框分离，求：方框最后的速度vt和此过程流过U形框上NP边的电量q；
(3)若方框不固定，给U形框垂直NP边向右的初速度v(v>v0)，在U形框与方框分离后，经过t时间，方框的最右侧和U形框的最左侧之间的距离为s。求：分离时U形框的速度大小v1和方框的速度大小v2。
解析 (1)U形框向右匀速运动，NP边做切割磁感线运动，由法拉第电磁感应定律得：E＝BLv0
此时等效电路图如图，
