计算题押题练(四)
1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：
(1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；
(2)上述过程中，杆cd上产生的热量。
解析：(1)设杆cd下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势E＝BLv，回路中的感应电流I＝
杆所受的安培力F＝BIL
根据牛顿第二定律有mgsin θ－＝ma
当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度am＝gsin θ，方向沿导轨平面向下
当杆的加速度a＝0时，速度最大，最大速度
vm＝，方向沿导轨平面向下。
(2)杆cd从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得
mgxsin θ＝Q总＋mvm2
又Q杆＝Q总
所以Q杆＝mgxsin θ－。
答案：(1)gsin θ
(2)mgxsin θ－
2．如图所示为某车间传送装置的简化示意图，由水平传送带、粗糙斜面、轻质弹簧及力传感器组成。传送带通过一段光滑圆弧与斜面顶端相切，且保持v0＝4 m/s的恒定速率运行，AB之间距离为L＝8 m，斜面倾角θ＝37°，弹簧劲度系数k＝200 N/m，弹性势能Ep＝kx2，式中x为弹簧的形变量，弹簧处于自然状态时上端到斜面顶端的距离为d＝3.2 m。现将一质量为4 kg的工件轻放在传送带A端，工件与传送带、斜面间的动摩擦因数均为0.5，不计其他阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。求：
(1)工件传到B端经历的时间；
(2)传感器的示数最大值；
(3)工件经多次缓冲后停在斜面上，传感器的示数为20 N，工件在斜面上通过的总路程。(结果保留三位有效数字)
解析：(1)设工件轻放后向右的加速度为a，达共速时位移为x1，时间为t1，有：
μmg＝ma⇒a＝μg＝5 m/s2
t1＝＝ s＝0.8 s，
x1＝at2＝×5×0.82 m＝1.6 m
接着工件向右匀速运动，
设时间为t2，t2＝＝ s＝1.6 s
工件传到B端经历的时间t＝t1＋t2＝2.4 s。
(2)设传感器示数最大时弹簧的压缩量为Δx1
由动能定理得：mg(d＋Δx1)sin 37°－μmg(d＋Δx1)·cos 37°－kΔx12＝0－mv02
代入数据得Δx1＝0.8 m
Fm＝k·Δx1＝160 N。
(3)设传感器示数为20 N时弹簧的压缩量为Δx2，工件在斜面上通过的总路程为s
Δx2＝＝ m＝0.1 m
由能量守恒得：mv02＋mg(d＋Δx2)sin 37°＝
μmgscos 37°＋kΔx22
代入数据得s＝6.89 m。
答案：(1)2.4 s (2)160 N (3)6.89 m
