科学思维系列——双星模型
1．模型构建
在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星球称为双星．
2．模型特点
①两颗星球角速度相同，间距不变，绕两者连线上某点旋转，轨迹为同心圆．
②两颗星球各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2.
③两颗星球的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2，且T1＝T2＝2π.
④两颗星球的轨道半径与两者间的距离关系为r1＋r2＝L，要注意r1、r2和L的区别．
⑤由m1a1＝m2a2可以推出＝.
【典例】
天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．
【解析】 (1)设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，角速度均为ω.
由双星所受向心力大小相等，可得 m1ω2r1＝m2ω2r2.
设A、B之间的距离为L，又因为L＝r1＋r2.
联立可得L＝r1①
由万有引力定律得双星间的引力
F＝G，将①式代入上式得F＝G②
由题意，将此引力视为O点处质量为m′的星体对可见星A的引力，则有F＝G③
由②③可得m′＝④
(2)对可见星A有G＝m1⑤
可见星A的轨道半径r1＝⑥
由④⑤⑥式解得＝.
【答案】 (1) (2)＝
