教材整理1 用数学归纳法证明不等式
在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1”成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用．
教材整理2 贝努利不等式
1．定理1(贝努利不等式) 设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞1＋nx.
2．定理2(选学) 设α为有理数，x>－1，
(1)如果0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx；
(2)如果α<0或者α>1，则(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立．
事实上，当α是实数时，也是成立的．
设n∈N＋，则2n与n的大小关系是( )
A．2n>n B．2n<n
C．2n＝n D．不确定
[解析] 2n＝(1＋1)n，根据贝努利不等式有(1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，得(1＋1)n>n，即2n>n.
[答案] A
【例1】 已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．
[精彩点拨] 求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2，然后证明归纳递推．
[自主解答] (1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋.
