[典例引领]
若各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2＝an＋1 (n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若正项等比数列{bn}，满足b2＝2,2b7＋b8＝b9，求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn；
(3)对于(2)中的Tn，若对任意的n∈N*，不等式λ(－1)n＜(Tn＋21)恒成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)因为2＝an＋1，
所以4Sn＝(an＋1)2，且an＞0，
则4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，
又4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，
所以4an＋1＝4Sn＋1－4Sn＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，
即(an＋1－an－2)(an＋1＋an)＝0，
因为an＞0，所以an＋1＋an≠0，
所以an＋1－an＝2，
所以{an}是公差为2的等差数列，
又a1＝1，
所以an＝2n－1.
(2)设数列{bn}的公比为q，
因为2b7＋b8＝b9，所以2＋q＝q2，解得q＝－1(舍去)或q＝2，
由b2＝2，得b1＝1，故bn＝2n－1.
因为Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，
所以2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，
两式相减得－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n，
故Tn＝(2n－1)×2n－1－2(2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)×2n－1－2(2n－2)＝(2n－3)×2n＋3.
(3)不等式λ(－1)n＜(Tn＋21)可化为(－1)nλ＜n－＋.
