匀强磁场中的临界、极值和多解问题
[基础巩固题组](20分钟，50分)
1．如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr.则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A. B．
C. D．
解析：选C.粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，故t＝＝＝，故选项C正确．
2．如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场．一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场的大小B需满足( )
A．B> B．B<
C．B> D．B<
解析：选B.若粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝＝a.由r＝得，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r>r0，解得B<，选项B正确．
3．如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )
A. B．
C. D．
解析：选C.粒子在磁场中运动轨迹如图所示，则由图知斜向上射入时有rsin θ＝a，斜向下射入时有rsin θ＋a＝r，联立求得θ＝30°，且r＝2a，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝m，解得r＝，即粒子的比荷为＝，所以粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为α＝2×(90°－30°)＝120°，运动时间为t＝＝，选项C正确．
4．如图所示，中轴线PQ将矩形区域MNDC分成上下两部分，上部分充满垂直于纸面向外的匀强磁场，下部分充满垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小均为B.一质量为m、带电荷量为q的带正电粒子从P点进入磁场，速度与边MC的夹角θ＝30°.MC边长为a，MN边长为8a，不计粒子重力．求：
(1)若要该粒子不从MN边射出磁场，其速度最大值是多少？
(2)若要该粒子恰从Q点射出磁场，其在磁场中的运行时间最短是多少？
解析：(1)设该粒子恰好不从MN边射出磁场时的轨迹半径为r，则由几何关系得
rcos 60°＝r－，
解得r＝a
又由qvB＝m，
解得最大速度为vmax＝.
(2)粒子每经过分界线PQ一次，在PQ方向前进的位移为轨迹半径R的倍．
设粒子进入磁场后第n次经过PQ线时恰好到达Q点
有n×R＝8a，且R<a，
解得n>＝4.62
n所能取的最小自然数为5
粒子做圆周运动的周期为T＝
粒子每经过PQ分界线一次用去的时间为
t＝T＝
粒子到达Q点的最短时间为tmin＝5t＝.
答案：(1) (2)
